• 關鍵詞：                                                                拉格朗日插值公式                                                                水位與流量                                                                庫容換算

• 摘要：平升公司目前采用的是水文觀測數據最主流的算法: 一元三點拉格朗日插值公式，將實測數據以外的節點用已知點進行插值。插值計算時，是選取最靠近插值點的3個節點代入公式，因此對于一條曲線就有多個插值公式，采用分段插值的方法，將該曲線使用范圍內的每一組對應值插算出來。

《榆林市水位視頻監控綜合管理軟件》目前已通過榆林市水務局的初步驗收。平升公司根據榆林市水務局的項目建設要求，完成了水位、流量、庫容數據的采集運算與視頻圖像的整合。

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本案例中主要對一元三點拉格朗日插值公式在水位與流量、庫容換算中的應用做一下介紹，分享一下平升公司應用此公式的一些心得。

一般水文工作者習慣通過現場測量一組水位對應的流量數據，以此來推導出近似的水位和流量的曲線（函數），這樣在曲線上的任何一個水位值（X）都會有一個對應的流量值（Y），這就是我們經常說的水位流量關系曲線。但是這個曲線多是非線性、不規則的，用這樣的曲線計算出來的數據誤差會非常大。

而平升公司目前采用的是水文觀測數據最主流的算法: 一元三點拉格朗日插值公式，將實測數據以外的節點用已知點進行插值。插值計算時，是選取最靠近插值點的3個節點代入公式，因此對于一條曲線就有多個插值公式，采用分段插值的方法，將該曲線使用范圍內的每一組對應值插算出來。

選取節點應按從小到大順序選取，曲線的兩個端點必須選入，其間可隨曲線曲率變化而定，端點附近與曲率變化較大處選密一些，反之可選稀一些，選取節點數量應滿足計算精度的要求且等差為佳，節點不得少于3個。

數學公式推演

任給定F中2n+2個數x₁，x₂，…，x_n+1，y₁，y₂，…，y_n+1，其中x₁，x₂，…x_n+1互不相同，則存在唯一的次數不超過n的多項式p_n(x)，滿足p_n(x_i)=y₁(i=1，2，…，n+1)，這里：

叫做拉格朗日插值公式。

公式的幾何解釋是：存在唯一的次數不超過n的拋物線

通過平面上的給出的n+1個點M₁(x_1，y₁)，M₂(x₂，y₂)，…，M_n+1(x_n+1，y_n+1)。

如對于自變數的兩個值，給出了線性函數的(n=1)對應值，這線性函數就被確定。從幾何方面說，直線由其兩點確定，即：

總結

平升公司為了方便客戶添加水位與流量或者庫容的數組數據，把水位數據做成一個集合，流量（庫容）數據做成一個集合，數據之間通過“&”區分，在保證數據測算準確的前提下，給客戶提供更簡單方便的輸入方式，目前軟件系統已經正式應用于榆林市防汛抗旱項目中，受到領導和工作人員的一致好評。